Question

14．已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n-5a_na_n+1（n∈N^*）．
（1）求正：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=a_n-5a_na_n+1两边同时除以a_na_n+1整理可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-5，进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项、5为公差的等差数列；
（2）通过（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{15n-14}{3}$，进而可得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=a_n-5a_na_n+1（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}-5{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，即$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-5，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项、5为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+5（n-1）=$\frac{15n-14}{3}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{3}{15n-14}$．

点评 本题考查等差数列的判定及数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．