Question

2．已知[x]表示不超过x的最大整数（x∈R），如[-1.3]=-2，[0.8]=0，[3.4]=3，定义{x}=x-[x]，给出下列命题，其中正确的是①③④．
①函数y={x}的周期为1．
②函数y={x}的定义域为R，值域为[0，1]．
③在平面上，由满足[x]²+[y]²=50的点（x，y）所形成的图形的面积是12．
④设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\{x\}，x≥0}\\{f（x+1），x＜0}\end{array}\right.$，则函数y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$有3个不同的零点．

Answer 1

分析 对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：∵f（x+1）=（x+1）-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f（x），∴f（x）是周期函数，最小正周期为1，∴①正确；
∵[x]≤x＜[x]+1，∴0≤x-[x]＜1，函数{x}的值域是[0，1），∴②错误；
方程：[x]²+[y]²=50
当x，y≥0时，[x]，[y]的整解有三组，（7，1），（5，5），（1，7）所以此时|[x]|可能取的数值为：7，5，1．
当|[x]|=7时，7≤x＜8，或-7≤x＜-6，|[y]|=1，-1≤y＜0，或1≤y＜2，围成的区域是4个单位正方形；
当|[x]|=5时，5≤x＜6，或-5≤x＜-4；|[y]|=5，-5≤y＜-4，5≤y＜6，围成的区域是4个单位正方形；
当|[x]|=1时，-1≤x＜0，或1＜x≤2，|[y]|=7，-7≤y＜-6，或7≤y＜8，围成的区域是4个单位正方形．
总面积是：12，∴③正确；
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\{x\}，x≥0}\\{f（x+1），x＜0}\end{array}\right.$，∴0≤f（x）＜1；当0≤x＜1时，f（x）=x，∴y=x$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$有零点x=$\frac{1}{3}$；当x≥1时，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$在x=1时有最大值$\frac{1}{2}$，且无最小值，∴函数y有一零点；当x＜0时，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$在x=0时有极小值-$\frac{1}{4}$，且无最大值，∴函数y有一零点；∴④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了新定义下的函数值的求解，以及函数的定义域值域问题，解题的关键弄清题意，结合所学的知识寻找解题的方法，是易错题．