Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，B=（2a，a²+1），若B⊆A，则实数a的取值集合是________．

Answer 1

{a|1＜a≤3}∪{-1}
分析：对于集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，零点分别是2和3a+1，由于含有参数故需要对参数的范围进行讨论，从而表示集合A，再根据B⊆A的关系比较端点求出a的取值范围．
解答：∵a²+1＞2a，∴a≠1，
对于集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，零点分别是2和3a+1；
（1）a＜时，2＞3a+1，此时A={x|3a+1＜x＜2}，要使B=（2a，a²+1）是A的子集；
则3a+1≤2a，a²+1≤2；分别得：a≤1和-1≤a≤1；又a＜，所以：a=-1；
（2）a=时，集合A：（x-2）²＜0是空集，而集合B非空，不满足B是A的子集，舍去；
（3）＜a≠1时，2＜3a+1，集合A={x|2＜x＜3a+1}，要使B=（2a，a²+1）是A的子集；
则2≤2a，a²+1≤3a+1；分别得：a≥1和0≤a≤3，又＜a≠1，
所以：1＜a≤3
综合1、2，实数a的取值范围是：a=-1或1＜a≤3
故答案为{a|1＜a≤3}∪{-1}
点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，求解的关键是正确解出两个不等式的解集以及根据两个集合的包含关系正确转化出关于参数的不等式，此类题主要考查转化的思想，本题中有一疑点，即转化出来的不等式的等号能不能取到的问题，转化后注意验证，养成验证的好习惯是保证此类题做对的一个关键．