【题目】已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R)
(1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
(2)当a=1且k∈Z时,不等式k(x﹣1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.
【答案】
(1)解:∵f(x)=ax+xlnx,
∴f′(x)=a+1+lnx,又函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,
∴当x≥e时,a+1+lnx≥0恒成立,
∴a≥(﹣1﹣lnx)max=﹣1﹣lne=﹣2,即a的取值范围为[﹣2,+∞);
(2)解:当x>1时,x﹣1>0,故不等式k(x﹣1)<f(x)k< ,
即 对任意x>1恒成立.
令 则 ,
令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),
则 在(1,+∞)上单增.
∵h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣ln4>0,
∴存在x0∈(3,4)使h(x0)=0,
即当1<x<x0时,h(x)<0,即g′(x)<0,
当x>x0时,h(x)>0,即g′(x)>0,∴g(x)在(1,x0)上单减,在(x0,+∞)上单增.
令h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,即lnx0=x0﹣2, =x0∈(3,4),
∴k<g(x)min=x0且k∈Z,
即kmax=3.
【解析】(1)易求f′(x)=a+1+lnx,依题意知,当x≥e时,a+1+lnx≥0恒成立,即x≥e时,a≥(﹣1﹣lnx)max , 从而可得a的取值范围;(2)依题意, 对任意x>1恒成立,令 则 ,再令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),易知h(x)在(1,+∞)上单增,从而可求得g(x)min=x0∈(3,4),而k∈z,从而可得k的最大值.
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【题目】甲、乙两人各自独立地进行射击比赛,甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 ,假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响.
(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击3次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,PB⊥面ABCD,BA=BD= ,AD=2,E,F分别是棱AD,PC的中点.
(1)证明:EF∥平面PAB;
(2)若二面角P﹣AD﹣B为60°,求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.
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【题目】已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a2=b(b+c).
(1)求证:∠A=2∠B;
(2)若a= b,判断△ABC的形状.
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【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn , 且a3=5,S15=225.数列{bn}是等比数列,b3=a2+a3 , b2b5=128(其中n=1,2,3,…). (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)记cn=anbn , 求数列cn前n项和Tn .
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【题目】已知函数 ,在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B,C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.
(Ⅰ)求ω的值及函数f(x)的值域;
(Ⅱ)若x∈[0,1],求函数f(x)的值域;
(Ⅲ)若 ,且 ,求f(x0+1)的值.
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