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【题目】已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R)
(1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
(2)当a=1且k∈Z时,不等式k(x﹣1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.

【答案】
(1)解:∵f(x)=ax+xlnx,

∴f′(x)=a+1+lnx,又函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,

∴当x≥e时,a+1+lnx≥0恒成立,

∴a≥(﹣1﹣lnx)max=﹣1﹣lne=﹣2,即a的取值范围为[﹣2,+∞);


(2)解:当x>1时,x﹣1>0,故不等式k(x﹣1)<f(x)k<

对任意x>1恒成立.

令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),

在(1,+∞)上单增.

∵h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣ln4>0,

∴存在x0∈(3,4)使h(x0)=0,

即当1<x<x0时,h(x)<0,即g′(x)<0,

当x>x0时,h(x)>0,即g′(x)>0,∴g(x)在(1,x0)上单减,在(x0,+∞)上单增.

令h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,即lnx0=x0﹣2, =x0∈(3,4),

∴k<g(x)min=x0且k∈Z,

即kmax=3.


【解析】(1)易求f′(x)=a+1+lnx,依题意知,当x≥e时,a+1+lnx≥0恒成立,即x≥e时,a≥(﹣1﹣lnx)max , 从而可得a的取值范围;(2)依题意, 对任意x>1恒成立,令 ,再令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),易知h(x)在(1,+∞)上单增,从而可求得g(x)min=x0∈(3,4),而k∈z,从而可得k的最大值.

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