Question

定义在R上的单调函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）且f（1）=2．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）当t＞2时，不等式f（klog₂t）+f（log₂t-log²₂t-2）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0可求得f（0）=0，再令y=-x可求得f（-x）=-f（x），从而可证f（x）为奇函数；
（2）依题意知，奇函数f（x）是R上的单调递增函数，不等式f（klog₂t）+f（log₂t-log²₂t-2）＜0恒成立?klog₂t＜log²₂t-log₂t+2在t＞2时恒成立，令m=log₂t则m＞1，问题转化为研究km＜m²-m+2在m＞1时恒成立，构造函数g（m）=m²-（k+1）m+2，利用二次函数的单调性即可求得k的取值范围．

解答：解：（1）令x=y=0得，f（0）=2f（0），
∴f（0）=0；
再令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数，
（2）∵f（0）=0，f（1）=2，且f（x）是R上的单调函数，
∴f（x）是R上的单调递增函数，又f（x）为奇函数，
∴f（klog₂t）＜-f（log₂t-log²₂t-2）=f（log²₂t-log₂t+2），
∴klog₂t＜log²₂t-log₂t+2在t＞2时恒成立，
令m=log₂t则m＞1，即 km＜m²-m+2在m＞1时恒成立，
∴可化为m²-（k+1）m+2＞0在m＞1时恒成立，
设g（m）=m²-（k+1）m+2，
∵g（0）=2＞0，
则

k+1

2

＜0①或△=（k+1）²-8＜0②或

0＜ k+1 2 ≤1 g(1)≥0

③，
解①得k＜-1；
解②得-2

2

-1＜k＜2

2

-1；
解③得-1＜k≤1
综上所述，k＜2

2

-1．
∴k的取值范围为（-∞，2

2

-1）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性的判定与单调性的综合应用，考查化归思想、分类讨论方程不等式思想的综合应用，属于难题．