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以下关于圆锥曲线的四个命题:
①设A,B为两个定点,k为非零常数,,则动点P的轨迹是双曲线;
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若,则动点P的轨迹是圆(点A除外);
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④到定点(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点P的轨迹是抛物线.
其中真命题的序号为    (写出三友真命题的序号).
【答案】分析:命题①利用举反例加以说明;
命题②设出定圆的方程,利用代入法分析可知AB中点P的轨迹为圆(除去A点);
命题③求出方程的两根即可得到答案;
命题④利用举反例的办法加以判断.
解答:解:对于①,若|k|>|AB|,则满足的动点P在实平面内不表示任何图形,∴①不正确;
对于②,设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,点A(m,n),P(x,y),
,可知P为AB的中点,则B(2x-m,2y-n),∵AB为圆的动弦,所以B在已知圆上,
把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆,当B与A重合时AB不是弦,∴点A除外,∴②正确;
对于③,方程2x2-5x+2=0的两根分别为和2,∴方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率正确;
对于④,设动点P(x,y),由题意知,x轴负半轴(含原点)上的点都满足到定点(1,0)的距离比到y轴的距离大1,∴④不正确.
所以正确的命题是②③.
故答案为②③.
点评:本题考查了抛物线及双曲线的定义,考查了命题的真假的判断,要说明一个命题为真,需要严格的证明,要说明命题是假命题,只要举一个反例即可,此题属中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

以下是关于圆锥曲线的四个命题:
①设A、B为两个定点,k为非零常数,若PA-PB=k,则动点P的轨迹是双曲线;
②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
③双曲线
x2
25
-
y2
9
=1
与椭圆
x2
35
+y2=1
有相同的焦点;
④以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆,则该圆与抛物线的准线相切.
其中真命题为
②③④
②③④
(写出所以真命题的序号).

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科目:高中数学 来源: 题型:

以下关于圆锥曲线的四个命题:
①设A,B为两个定点,k为非零常数,|
PA
|-|
PB
|=k
,则动点P的轨迹是双曲线;
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,则动点P的轨迹是圆(点A除外);
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④到定点(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点P的轨迹是抛物线.
其中真命题的序号为
②③
②③
(写出三友真命题的序号).

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科目:高中数学 来源: 题型:

以下关于圆锥曲线的四个命题中:

①设A、B为两个定点,k为非零常数,若|PA|-|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线;

②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,则=(+),则动点P的轨迹为椭圆;

③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

④双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点.

其中真命题的序号是_______________.(写出所有真命题的序号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

以下关于圆锥曲线的四个命题中:

①设A、B为两个定点,k为非零常数,若|PA|-|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线;

②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,则=(+),则动点P的轨迹为椭圆;

③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

④双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点.

其中真命题的序号是_______________.(写出所有真命题的序号)

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