Question

已知中心在原点、焦点在x轴上椭圆，离心率为

6

3

，且过点A（1，1）
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Π）如图，B为椭圆右顶点，椭圆上点C与A关于原点对称，过点A作两条直线交椭圆P、Q（异于A、B），交x轴与P'，Q'，若|AP'|=|AQ'|，求证：存在实数λ，使得

PQ

=λ

BC

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把椭圆方程设出来，再利用离心率为

6

3

，且过点A（1，1）以及a²=b²+c²求出对应a，b，c的值即可．
（Π）先求出直线BC的斜率，再利用条件|AP'|=|AQ'|，知道直线AP的斜率k与AQ的斜率互为相反数，把直线AP的方程设出来，于椭圆方程联立，求出点P的坐标，同理求出点Q的坐标，只要直线PQ的斜率与直线BC的斜率相等即可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．离心率为

6

3

，

c

a

=

6

3

?

c2

a2

=

2

3

①
∵点A（1，1）在椭圆上，∴

1

a2

+

1

b2

=1②
又a²=b²+c²③
解得

a2=4 b2= 4 3 c2= 8 3

故所求椭圆方程为

x2

4

+

3y2

4

=1
（Ⅱ）由A（1，1）得C（-1，1）
则k_BC=

0-(-1)

2-(-1)

=

1

3

易知AP的斜率k必存在，设AP；y=k（x-1）+1，则AQ：y=-k（x-1）+1，
由

x2 4 + 3y2 4 =1 y=k(x-1)+1

得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
由A（1，1）得x=1是方程（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0的一个根
由韦达定理得：x_p=x_p•1=

3k2-6k-1

1+3k2

以-k代k得x_Q=

3k2+6k-1

1+3k2

故k_PQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

k(xP+xQ)-2k

xP-xQ

=

1

3

故BC∥PQ
即存在实数λ，使得

PQ

=λ

.

BC

．

点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．