Question

（2007•武汉模拟）如图，在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AD中点，
（1）求二面角E-A₁C₁-D₁的平面角的余弦值；
（2）求四面体B-A₁C₁E的体积．
（3）（文） 求E点到平面A₁C₁B的距离
（4）（文）求二面角B-A₁C₁-B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先作出二面角E-A₁C₁-D₁的平面角：在A₁D₁上取中点F．连接EF过F作FM⊥A₁C₁于A₁C₁上一点M，连接EM，则∠EMF为二面角E-A₁C₁-D₁的平面角．再在△A₁C₁D₁中，可求；
（2）求四面体B-A₁C₁E的体积，可以转换底面，求V_C1-A1BN，即可；
（3）将E到平面BA₁C₁的距离转化为M点到平面BA₁C₁的距离，再在△MHB中可求；
（4）先利用三垂线定理确定二面角的平面角，再在△BO₁B₁中求解．

解答：解：（1）在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E为AD中点，在A₁D₁上取中点F．连接EF过F作FM⊥A₁C₁于A₁C₁上一点M，连接EM，则∠EMF为二面角E-A₁C₁-D₁的平面角．
在△A₁C₁D₁中，FM=

1

4

B₁D₁=

2

4

，又EF⊥FM，EF=1
∴tan∠EMF=

1

2 4

=2

2

，从而cos∠EMF=

1

3

．
∴二面角E-A₁C₁-D₁的余弦值为

1

3

（2）在平面ABCD内，延长BA到N点，使AN=

1

2

，故NE∥A₁C₁，∴NE∥面BA₁C₁
∴V_B-A1C1E=V_E-A1BC1=V_N-A1C1E=V_C1-A1BN
=

1

3

•（

1

2

•

3

2

•1）•1=

1

4

（3）（文）取DC中点F，连接EF交BD于M点，又E为AD中点，故可知EF∥A₁C₁，则EF∥面BA₁C₁，
因此E到平面BA₁C₁的距离就是M点到平面BA₁C₁的距离．
在对角面BA₁D₁D内，过M作MH⊥O₁B交OB1于H，
∵A₁C₁⊥面BB₁D₁D，则面BD₁⊥面BA₁C₁而MH⊥O₁B，则MH⊥面BA₁C₁，
又∵sin∠DBO₁=

2

3

 故在△MHB中，MH=BM•sin∠DBO₁=

3 2

4

•

2

3

=

3

2

故E到平面BA₁C₁之距离为

3

2

（4）

在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁连B₁D₁，则B₁D₁⊥A₁C₁，设其交点为O₁，连O₁B．
则由三垂线定理可知O₁B⊥A₁C₁
∴∠BO₁B₁为二面角B-A₁C₁-B₁的平面角．
又BB₁=1，O₁B=

2

2

，∴tan∠BO₁B₁=

2

，从而cos∠BO₁B₁=

1

3

=

3

3

．

点评：本题的考点是与二面角有关的立体几何综合问题，主要考查二面角的求法，考查几何体的体积，关键是作（找）二面角的平面角．