Question

在△ABC中，点D和E分别在边BC与AC上，且BD=

1

3

BC，CE=

1

3

CA，AD与BE交于R，用向量法证明RD=

1

7

AD，RE=

4

7

BE．

Answer 1

考点：平行向量与共线向量,向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，设

AR

=m

AD

=m(

BD

-

BA

)=-

1

3

m

CB

-m(

BC

+

CA

)=

2

3

m

CB

-m

CA

．另一方面：由于B，R，E三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数n使得

AR

=n

AB

+(1-n)

AE

=n(

CB

-

CA

)-（1-n）•

2

3

CA

=n

CB

-

2+n

3

CA

．由共面向量基本定理即可得出．

解答： 证明：如图所示，
设

AR

=m

AD

=m(

BD

-

BA

)=-

1

3

m

CB

-m(

BC

+

CA

)=

2

3

m

CB

-m

CA

，
另一方面：由于B，R，E三点共线，
∴存在实数n使得

AR

=n

AB

+(1-n)

AE

=n(

CB

-

CA

)-（1-n）•

2

3

CA

=n

CB

-

2+n

3

CA

．
由共面向量基本定理可得：

2 3 m=n -m=- 2+n 3

，解得m=

6

7

，
∴

RD

=

1

7

AD

，
即RD=

1

7

AD．
同理可证：RE=

4

7

BE．

点评：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．