Question

已知分别以d₁和d₂为公差的等差数列和满足a₁=18，b₁₄=36．
（1）若d₁=18，且存在正整数m，使得a_m²=b_m+14-45，求证：d₂＞108；
（2）若a_k=b_k=0，且数列a₁，a₂，…，a_k，b_k+1，b_k+2，…，b₁₄的前n项和S_n满足S₁₄=2S_k，求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的通项公式分别表示出a_m和b_m+14，代入a_m²=b_m+14-45，求得d2=182m+

9

m

，根据均值不等式求得d₂的范围，原式得证．
（2）根据S₁₄=2S_k得：S_k=S₁₄-S_k，再根据等差数列的求和公式，进而求得d₁和d₂，根据等差数列的通项公式进而求得a_n和b_n的通项公式．

解答：解：（1）依题意，[18+（m-1）×18]²=36+（m+14-14）d₂-45，
即（18m）²=md₂-9，即d2=182m+

9

m

≥2

182×9

=108；
等号成立的条件为182m=

9

m

，即m=

1

6

，∵m∈N^*，
∴等号不成立，∴原命题成立．
（2）由S₁₄=2S_k得：S_k=S₁₄-S_k，
即：

18+0

2

×k=

36+0

2

×(14-k+1)，
则9k=18×（15-k），得k=10
d1=

0-18

9

=-2，d2=

36-0

14-10

=9，
则a_n=-2n+20，b_n=9n-90．

点评：本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．