Question

【题目】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为、，，是轴的正半轴上一点，交椭圆于，且，的内切圆半径为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线和圆相切，且与椭圆交于、两点，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）利用内切圆的性质可知，，利用勾股定理构造方程可求得，结合椭圆定义和关系可求得，由此得到椭圆方程；

（2）利用与直线相切可求得，将直线方程代入椭圆方程，可利用弦长公式求得；利用直线与相切可求得，代入中即可得到结果.

（1）设的内切圆切、、于点、、，，，

由，且，有，则，，

由得：，解得：，

故，即，，

故所求的椭圆标准方程为：.

（2）由（1）知：，直线方程为，

设点，其到直线的距离为，有，

解得：或（舍），即，故圆的方程为，

设，，

由得：，

则，，

，

，

而与相切，有，解得：或，

故或.