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已知函数f(x)=(k2+1)x2-2kx-(k-1)2(k∈R),x1,x2是f(x)的两个零点,且x1>x2
(1)①求证:x1=1;②求x2的取值范围;
(2)记g(k)为函数f(x)的最小值,当x2∈[-2,-1]时,求g(k)的最大值.
考点:二次函数的性质
专题:函数的性质及应用
分析:(1)①令f(x)=0即可解出两个零点,从而可证:x1=1;②由①得x2=
-k2+2k-1
k2+1
,可化为(1+x2)k2-2k+x2+1=0.因为k∈R,且此关于k的方程必有解,讨论可得x2的取值范围为[-2,0].
(2)由x2∈[-2,-1],得-2≤
-k2+2k-1
k2+1
≤-1,得k≤0.g(k)=
-4(k2+1)(k2-2k+1)-4k2
4(k2+1)
=-[(k2-2k+1)+
k2
k2+1
].g(k)在区间(-∞,0]上是增函数,所以当k=0时,g(k)取到最大值g(0)=-1.故当x2∈[-2,-1]时,g(k)的最大值为-1.
解答: 解:(1)①证明:由f(x)=0得(k2+1)x2-2kx-(k-1)2=0
即[(k2+1)x+(k-1)2]•(x-1)=0
所以函数f(x)的两个零点为1和-
(k-1)2
k2+1

又-
(k-1)2
k2+1
<0,所以x1=1;x2=-
(k-1)2
k2+1

所以x1=1成立.
②由①得x2=-
(k-1)2
k2+1
=
-k2+2k-1
k2+1

可化为(1+x2)k2-2k+x2+1=0.
因为k∈R,且此关于k的方程必有解,
所以当x2=-1,此时k=0;
当x2≠-1,此方程的△=4-4(x2+1)2≥0,解得-2≤x2≤0,
则-2≤x2≤0且x2≠-1.
综上,x2的取值范围为[-2,0].
(2)由x2∈[-2,-1],得-2≤
-k2+2k-1
k2+1
≤-1,得k≤0.
又函数f(x)的最小值为
-4(k2+1)(k2-2k+1)-4k2
4(k2+1)

即g(k)=
-4(k2+1)(k2-2k+1)-4k2
4(k2+1)
=-[(k2-2k+1)+
k2
k2+1
].
下面证明g(k)在区间(-∞,0]上是增函数,
对任意的k1<k2≤0,
都有g(k1)-g(k2)=-[(k12-2k1+1)+
k12
k12+1
]+[(k22-2k2+1)+
k22
k22+1
]
=(k2-k1)[(k2+k1)-2+
k1+k2
(k12+1)(k22+1)
],
因为k1<k2≤0,所以k2-k1>0,k2+k1<0,
k1+k2
(k12+1)(k22+1)
<0,
所以(k2-k1)[(k2+k1)-2+
k1+k2
(k12+1)(k22+1)
]<0,
即g(k1)-g(k2)<0,所以g(k)在区间(-∞,0]上是增函数.
所以当k=0时,g(k)取到最大值g(0)=-1.
当x2∈[-2,-1]时,g(k)的最大值为-1.
点评:本题主要考察了二次函数的性质及应用,考察了函数单调性质的证明,考察了计算能力,属于中档题.
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a
b
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a
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a
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,|
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|=2,则|
b
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