Question

已知f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
（1）求函数的单调区间；
（2）若x∈[1，3]时，f（x）＞1-4c²恒成立，求实数C的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=2取得极值，说明导函数在x=2时值为0，
再根据其图象在x=1处的切线斜率为-3，列出方程组即可求出a、b的值，进而可以求出函数的单调区间；
（2）可以求出函数在闭区间∈[1，3]上的最小值，这个最小值要大于1-4c²，解不等式可以得出实数c的取值范围．

解答：解：（1）由题意：f′（x）=3x²+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为-3；
由已知

f′(1)=3+6a+3b=-3 f′(2)=12+12a+3b=0

 所以

a=-1 b=0

-----------------（3分）
所以由f′（x）=3x²-6x＞0得心x＜0或x＞2；
所以当x∈（0，2）时，函数单调递减；
当x∈（-∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．-----------------（6分）
（2）由（1）知，函数在x∈（1，2）时单调递减，在x∈（2，3）时单调递增；
所以函数在区间[1，3]有最小值f（2）=c-4要使x∈[1，3]，f（x）＞1-4c²恒成立
只需1-4c²＜c-4恒成立，所以c＜-

5

4

或c＞1．
故c的取值范围是{c|c＜-

5

4

或c＞1}-----------------（12分）

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于中档题．