Question

已知pa³=qb³=rc³，

1

a

+

1

b

+

1

c

=1，求证：(pa2+qb2+rc2)

1

3

=p

1

3

+q

1

3

+r

1

3

．

Answer 1

考点：平均值不等式在函数极值中的应用

专题：证明题

分析：设pa³=qb³=rc³=k，则有pa²+qb²+rc²=

k

a

+

k

b

+

k

c

=k，又p=

k

a3

，q=

k

b3

，r=

k

c3

，则p

1

3

+q

1

3

+r

1

3

=

k 1 3

a

+

k 1 3

b

+

k 1 3

c

=k

1

3

，比较左右两边，即可得证．

解答： 证明：设pa³=qb³=rc³=k，
则pa²=

k

a

，qb²=

k

b

，rc²=

k

c

，
则有pa²+qb²+rc²=

k

a

+

k

b

+

k

c

，
由于

1

a

+

1

b

+

1

c

=1，
则pa²+qb²+rc²=k，
又p=

k

a3

，q=

k

b3

，r=

k

c3

，
则p

1

3

+q

1

3

+r

1

3

=

k 1 3

a

+

k 1 3

b

+

k 1 3

c

=k

1

3

，
故有(pa2+qb2+rc2)

1

3

=p

1

3

+q

1

3

+r

1

3

．

点评：本题考查恒等式的证明，考查运用换元法证明等式，注意连等式通常运用换元法，考查推理能力，属于中档题．