Question

（2008•成都三模）已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠A₁AD=∠A₁AB=∠BAD=60°，AA₁=AB=AD，E为A₁D₁的中点．给出下列四个命题：①∠BCC₁为异面直线AD与CC₁所成的角；②三棱锥A₁-ABD是正三棱锥；③CE⊥平面BB₁D₁D；④

CE

=-

1

2

AD

-

AB

+

AA1

．其中正确的命题有

②④

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：由异面直线所成的角的定义可判断①的真假；利用正三棱锥的定义可判断②的真假；利用直线与平面垂直的定义和向量的数量积运算可判断③的真假；利用向量加法的三角形法则可判断④的真假

解答：解：①∵∠BCC₁为120°，而异面直线AD与CC₁所成的角为60°，故①错误
②三棱锥A₁-ABD的每个面都为正三角形，故为正四面体，故②正确
④根据向量加法的三角形法则，

CE

=

CB

+

BA

+

AA1

+

A1E

=-

AD

-

AB

+

AA1

+

1

2

A D

=-

1

2

AD

-

AB

+

AA1

，故④正确
③∵

BD

=

AD

-

AB

，∴

CE

• 

BD

=(-

1

2

AD

-

AB

+

AA1

)•（

AD

-

AB

）=-

1

2

AD

2+

1

2

AD

•

AB

-

AB

•

AD

+

AB

2+

AA1

•

AD

-

AA1

•

AB

=

1

2

AD

2-

1

4

AD

2+

1

2

AD

2-

1

2

AD

2=

1

4

AD

2≠0
∴CE与BD不垂直，故③错误
故答案为 ②④

点评：本题考查了异面直线所成的角的定义，直线与平面垂直的定义，正三棱锥的定义，向量加法的三角形法则和数量积运算性质