Question

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，M、G分别是AB、DF的中点．

（1）求证：CM⊥平面FDM；
（2）在线段AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明；
（3）求直线DM与平面ABEF所成的角．

Answer 1

分析：（1）先根据三视图可得直观图为直三棱柱，欲证CM⊥平面FDM，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CM与平面FDM内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知FD⊥CM，以及根据勾股定理可知CM⊥DM，FD?平面FDM，DM?平面FDM，满足定理所需条件；
（2）点P在A点处，取DC中点S，连接AS、GS、GA，根据中位线定理可知，GS∥FC，AS∥CM，从而面GSA∥面FMC，又GA?面GSA根据面面平行的性质可知GP∥平面FMC；
（3）在平面ADF上，过D作AF的垂线，垂足为H，连DM，根据线面所成角的定义可知∠DMH是DM与平面ABEF所成的角，然后在三角形DHM中求出此角即可．

解答：解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=a
（1）显然FD⊥平面ABCD，
又CM?平面ABCD，
∴FD⊥CM（2分）
在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，
M为AB中点，DM=CM=

2

a，
∴CM⊥DM
∵FD?平面FDM，DM?平面FDM，
∴CM⊥平面FDM，（4分）
（2）点P在A点处，（5分）
证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA
∵G是DF的中点，GS∥FC，AS∥CM
∴面GSA∥面FMC，
而GA?面GSA，∴GP∥平面FMC（9分）
（3）在平面ADF上，过D作AF的垂线．
垂足为H，连DM，
则DH⊥平面ABEF，
∠DMH是DM与平面ABEF所成的角（12分）
在Rt△DHM中，DH=

2

2

a，DM=

2

a
∴sin∠DMH=

DH

DM

=

1

2

∴∠DMH=

π

6

．
所以DM与平面ABEF所成的角为

π

6

．（14分）

点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定和直线与平面所成角的计算，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．