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    已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx（abc≠0）．
    （1）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
    （2）在同一函数图象上任意取不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，
    ①对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，求证：k=f′（x0）；
    ②对于“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx，是否有①同样的性质？证明你的结论．
    （1）如果x＞0，g（x）为增函数，则
    g′（x）=2ax+b+
    c
    x
    =
    2ax2+bx+c
    x
    ＞0(i)    恒成立．
    ∴2ax2+bx+c＞0（ii）恒成立
    ∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立
    则函数g（x）不可能总为增函数．
    （2）①对于二次函数：
    k=
    f(x2)-f(x1)
    x2- x1
    =
    a(x22-x12)+b(x2-x1)
    x2-x1
    =2ax0+b
    由f′（x）=2ax+b故f′（x0）=2ax0+b
    即k=f′（x0）
    （2）②
    不妨设x2＞x1，对于伪二次函数g（x）=ax2+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
    k=
    g(x2)-g(x1)
    x2-x1
    =
    f(x2)-f(x1)+cln
    x2
    x1
    x2-x1

    如果有①的性质，则g′（x0）=k
    ∴
    cln
    x2
    x1
    x2-x1
    =
    c
    x0
    ，c≠0
    即∴
    ln
    x2
    x1
    x2-x1
    =
    2
    x1+x2
    ，
    令t=
    x2
    x1
    ，t＞1，则
    lnt
    t-1
    =
    2
    t+1

    设s（t）=lnt-
    2t-2
    t+1
    ，则s′(t)=
    1
    t
    -
    2(t+1)-2(t-1)
    (t+1)2
    =
    (t-1)2
    t(t+1)2
    ＞    0
    ∴s（t）在（1，+∞）上递增，
    ∴s（t）＞s（1）=0
    ∴g′（x0）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax2+bx+clnx不具有①的性质．
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