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(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,为矩形,平面平面.
求证:

为何值时,四棱锥的体积最大?并求此时平面与平面夹角的余弦值.
(1)详见解析,(2)时,四棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为

试题分析:(1)先将面面垂直转化为线面垂直:ABCD为矩形,故ABAD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,再根据线面垂直证线线垂直:因为PD平面PAD,所以ABPD
(2)求四棱锥体积,关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理:过P作AD的垂线,垂足为O,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD,下面用表示高及底面积:设,则,故四棱锥P-ABCD的体积为
故当时,即时,四棱锥的体积P-ABCD最大.
求二面角的余弦值,可利用空间向量求解,根据题意可建立空间坐标系,分别求出平面BPC的法向量及
平面DPC的法向量,再利用向量数量积求夹角余弦值即可.
试题解析:(1)证明:ABCD为矩形,故ABAD,
又平面PAD平面ABCD
平面PAD平面ABCD=AD
所以AB平面PAD,因为PD平面PAD,故ABPD
(2)解:过P作AD的垂线,垂足为O,过O作BC的垂线,垂足为G,连接PG.
故PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG
在直角三角形BPC中,
,则,故四棱锥P-ABCD的体积为

因为
故当时,即时,四棱锥的体积P-ABCD最大.

建立如图所示的空间直角坐标系,

设平面BPC的法向量,则由,
解得
同理可求出平面DPC的法向量,从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为
练习册系列答案
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(1)求证:∥平面;    
(2)求证:⊥平面.

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④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.
其中真命题是________(写出所有真命题的序号).

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