试题分析:(1)先将面面垂直转化为线面垂直:ABCD为矩形,故AB
AD,又平面PAD
平面ABCD,平面PAD
平面ABCD=AD,所以AB
平面PAD,再根据线面垂直证线线垂直:因为PD
平面PAD,所以AB
PD
(2)求四棱锥体积,关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理:过P作AD的垂线,垂足为O,又平面PAD
平面ABCD,平面PAD
平面ABCD=AD,所以PO
平面ABCD,下面用
表示高及底面积:设
,则
,故四棱锥P-ABCD的体积为
故当
时,即
时,四棱锥的体积P-ABCD最大.
求二面角的余弦值,可利用空间向量求解,根据题意可建立空间坐标系,分别求出平面BPC的法向量及
平面DPC的法向量,再利用向量数量积求夹角余弦值即可.
试题解析:(1)证明:ABCD为矩形,故AB
AD,
又平面PAD
平面ABCD
平面PAD
平面ABCD=AD
所以AB
平面PAD,因为PD
平面PAD,故AB
PD
(2)解:过P作AD的垂线,垂足为O,过O作BC的垂线,垂足为G,连接PG.
故PO
平面ABCD,BC
平面POG,BC
PG
在直角三角形BPC中,
设
,则
,故四棱锥P-ABCD的体积为
因为
故当
时,即
时,四棱锥的体积P-ABCD最大.
建立如图所示的空间直角坐标系,
故
设平面BPC的法向量
,则由
,
得
解得
同理可求出平面DPC的法向量
,从而平面BPC与平面DPC夹角
的余弦值为