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给定一个n项的实数列a1a2,…,an(n∈N*),任意选取一个实数c,变换T(c)将数列a1,a2,…,an变换为数列|a1-c|,|a2-c|,…,|an-c|,再将得到的数列继续实施这样的变换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数c可以不相同,第k(k∈N*)次变换记为Tk(ck),其中ck为第k次变换时选择的实数.如果通过k次变换后,数列中的各项均为0,则称T1(c1),T2(c2),…,Tk(ck)为“k次归零变换”
(Ⅰ)对数列:1,2,4,8,分别写出经变换T1(2),T2(3),T3(4)后得到的数列;
(Ⅱ)对数列:1,3,5,7,给出一个“k次归零变换”,其中k≤4;
(Ⅲ)证明:对任意n项数列,都存在“n次归零变换”.
分析:(Ⅰ)根据新定义,可计算经变换T1(2),T2(3),T3(4)后得到的数列;
(Ⅱ)根据新定义,计算经变换T1(4);T2(2);T3(1),或T1(2);T2(2);T3(2);T4(1),可得结论;
(Ⅲ)记经过Tk(ck)变换后,数列为
a
(k)
1
a
(k)
2
,…,
a
(k)
n
.取c1=
1
2
(a1+a2)
c2=
1
2
(
a
(1)
2
+
a
(1)
3
)
,继续做类似的变换,取ck=
1
2
(
a
(k-1)
k
+
a
(k-1)
k+1
)
,(k≤n-1),经Tk(ck)后,得到数列的前k+1项相等,再取cn=
a
(n-1)
n
,经Tn(cn)后,即可得到结论.
解答:(Ⅰ)解:T1(2):1,0,2,6;T2(3):2,3,1,3;T3(4):2,1,3,1.…(3分)
(Ⅱ)解:方法1:T1(4):3,1,1,3;T2(2):1,1,1,1;T3(1):0,0,0,0.
方法2:T1(2):1,1,3,5;T2(2):1,1,1,3;T3(2):1,1,1,1;T4(1):0,0,0,0.
…(6分)
(Ⅲ)证明:记经过Tk(ck)变换后,数列为
a
(k)
1
a
(k)
2
,…,
a
(k)
n

c1=
1
2
(a1+a2)
,则
a
(1)
1
=
a
(1)
2
=
1
2
|a1-a2|
,即经T1(c1)后,前两项相等;
c2=
1
2
(
a
(1)
2
+
a
(1)
3
)
,则
a
(2)
1
=
a
(2)
2
=
a
(2)
3
=
1
2
|
a
(1)
2
-
a
(1)
3
|
,即经T2(c2)后,前3项相等;
继续做类似的变换,取ck=
1
2
(
a
(k-1)
k
+
a
(k-1)
k+1
)
,(k≤n-1),经Tk(ck)后,得到数列的前k+1项相等.特别地,当k=n-1时,各项都相等,最后,取cn=
a
(n-1)
n
,经Tn(cn)后,数列各项均为0.所以必存在n次“归零变换”.  …(13分)
点评:本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的探究能力,难度较大.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

给定一个n项的实数列a1a2,…,an(n∈N*),任意选取一个实数c,变换T(c)将数列a1,a2,…,an变换为数列|a1-c|,|a2-c|,…,|an-c|,再将得到的数列继续实施这样的变换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数c可以不相同,第k(k∈N*)次变换记为Tk(ck),其中ck为第k次变换时选择的实数.如果通过k次变换后,数列中的各项均为0,则称T1(c1),T2(c2),…,Tk(ck)为“k次归零变换”.
(Ⅰ)对数列:1,3,5,7,给出一个“k次归零变换”,其中k≤4;
(Ⅱ)证明:对任意n项数列,都存在“n次归零变换”;
(Ⅲ)对于数列1,22,33,…,nn,是否存在“n-1次归零变换”?请说明理由.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

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(Ⅰ)对数列:1,3,5,7,给出一个“k次归零变换”,其中k≤4;
(Ⅱ)证明:对任意n项数列,都存在“n次归零变换”;
(Ⅲ)对于数列1,22,33,…,nn,是否存在“n-1次归零变换”?请说明理由.

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(Ⅰ)对数列:1,2,4,8,分别写出经变换T1(2),T2(3),T3(4)后得到的数列;
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