Question

某公司一个下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金量增长了50%．预计以后每年资金的年增长率都是50%．公司要求从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余的资金全部投入下一年的生产，设第n年年底该企业上缴资金后剩余的资金为a_n万元．
（1）用d表示a₁，并写出a_n+1与a_n的关系式；
（2）求：数列{a_n}的通项公式；
（3）若公司希望经过m（m≥3）使得企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．

Answer 1

分析：（1）根据每年资金的年增长率都是50%，公司要求从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余的资金全部投入下一年的生产，设第n年年底该企业上缴资金后剩余的资金为a_n万元，可得a₁=2000（1+50%）-d，an+1=

3

2

an-d．
（2）由（1）变形为an+1-2d=

3

2

(an-2d)，利用等比数列的通项公式即可得出；
（3）利用（2）即可解出．

解答：解：（1）由题意可得a₁=2000（1+50%）-d=3000-d，
an+1=

3

2

an-d．
（2）由（1）可得an+1-2d=

3

2

(an-2d)，
∴数列{a_n-2d}是等比数列，首项为a₁-2d=3000-3d，公比为

3

2

．
∴an-2d=(3000-3d)×(

3

2

)n-1，
∴an=(3000-3d)×(

3

2

)n-1+2d．
（3）am=(3000-3d)•(

3

2

)m-1+2d=4000，解得d=

1000[3×( 3 2 )m-1-4]

3×( 3 2 )m-1-2

．

点评：本题考查了通过变形转化为等比数列、等比数列的通项公式、方程思想等基础知识与基本技能方法，属于难题．