Question

设复数z满足|z|=5且（3+4i）z是纯虚数，则

.

z

=

4-3i或-4+3i

．

Answer 1

分析：设出要求的复数，把复数要满足的两个条件都用复数表示出来，用模长和是纯虚数得到关于a和b的关系式，解方程得到a和b的值，从而求出所求．

解答：解：设z=a+bi（b∈R），则有

a2+b2

=5  ①
∵（3+4i）z=（3a-4b）+（4a+3b）i是纯虚数，
由题设得

3a-4b=0 4a+3b≠0

得b=

3

4

a，
代入①得a²+（

3

4

a）2=25，a=±4，
∴a=4，b=3或a=-4，b=-3，
∴

.

z

=4-3i或

.

z

=-4+3i．
故答案为：4-3i或-4+3i

点评：本题考查复数的模长和复数的概念，这种题目一般不会出成解答题，而是以填空形式出现，属于基础题．