Question

【题目】已知函数f（x）=loga（1﹣x）﹣loga（1+x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求满足不等式f（x）＜0的x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：解 得，﹣1＜x＜1；

∴f（x）的定义域为（﹣1，1）

（2）解：f（﹣x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）=﹣f（x）；

∴f（x）为奇函数

（3）解：由f（x）＜0得，loga（1﹣x）＜loga（1+x）；

①若a＞1，则：

；

∴0＜x＜1；

即f（x）＜0的x的取值范围为（0，1）；

②若0＜a＜1，则：

；

∴﹣1＜x＜0；

即f（x）＜0的x的取值范围为（﹣1，0）

【解析】（1）只需解不等式组 即可得出f（x）的定义域；（2）求f（﹣x）即可得到f（﹣x）=﹣f（x），从而得出f（x）为奇函数；（3）讨论a：a＞1，和0＜a＜1，根据f（x）的定义域及对数函数的单调性即可求得每种情况下原不等式的解．
【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．