Question

（本小题满分13分）如图所示，直线l与抛物线y²=x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴交于点M，且y₁y₂＝－1，

（Ⅰ）求证：点的坐标为；

（Ⅱ）求证：OA⊥OB；

（Ⅲ）求△AOB面积的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）1

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设M（x₀，0），直线l方程为x=my+x₀代入y²=x得

y²-my-x₀=0，y_1。y₂是此方程的两根

∴ x₀＝－y₁y₂＝1 ①   即M点坐标是（1，0）  （4分）

证明：（Ⅱ）∵ y₁y₂＝－1　∴  x₁x₂+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0，

∴  OA⊥OB   （8分）

（Ⅲ）由方程①得y₁＋y₂＝m，y₁y₂＝－1，又|OM|＝x₀＝1，

 ，

 ∴  当m=0时，S_△AOB取最小值1。   （13分）

考点：直线与抛物线位置关系

点评：直线与抛物线位置关系常联立方程，利用韦达定理求解