Question

【题目】设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A.（﹣3，0）∪（3，+∞）
B.（﹣3，0）∪（0，3）
C.（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
D.（﹣∞，﹣3）∪（0，3）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：因 f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0
故f（x）g（x）在（﹣∞，0）上递增，
又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，
∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函数．
∵f（3）g（3）=0，∴f（﹣3）g（﹣3）=0
所以f（x）g（x）＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3
故选D．
【考点精析】掌握函数奇偶性的性质和基本求导法则是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．