Question

已知定圆A：（x+1）²+y²=16，圆心为A，动圆M过点B（1，0）且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若点P（x，y）为曲线C上一点，求证：直线l：3xx+4yy-12=0与曲线C有且只有一个交点．

Answer 1

【答案】分析：（I）依据条件判断定圆和动圆相内切，再依据椭圆的定义写出曲线C的方程．
（II）分类讨论，当y=0时，检验直线l：3xx+4yy-12=0与曲线C有且只有一个交点，当y≠0时，把直线和椭圆方程联立方程组，利用点P（x，y）为曲线C上一点，求出只有一个解，并说明直线和椭圆只有唯一交点．
解答：解：（I）圆A的圆心为A（-1，0），半径r₁=4，
设动圆M的圆心M（x，y），半径为r₂，依题意有，r₂=|MB|．
由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，
故|MA|=r₁-r₂，即|MA|+|MB|=4，
所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
设椭圆方程为，由2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．
故曲线C的方程为（6分）
（II）解：当，当x=2，y=0时，直线l的方程为x=2，
直线l与曲线C有且只有一个交点（2，0）．
当x=-2，y=0时，直线l的方程为x=-2，
直线l与曲线C有且只有一个交点（-2，0）．
，

消去y，得（4y²+3x³）x²-24xx+48-16y²=0．①
由点P（x，y）为曲线C上一点，
于是方程①可以化简为x²-2xx+x²=0．解得x=x，
，
故直线l与曲线C有且有一个交点P（x，y），
综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为P（x，y）．（13分）
点评：本题考查两圆的位置关系、用定义法求轨迹方程，直线和椭圆位置关系的综合应用．