Question

在△ABC中，a，b，c分为为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=

1

3

x³+bx²+（a²+c²-ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（　　）

• A、（0，

  π

  3

  ）
• B、（0，

  π

  3

  ]
• C、[

  π

  3

  ，π）
• D、（

  π

  3

  ，π）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用,解三角形

分析：先求导f′（x）=x²+2bx+（a²+c²-ac），从而化函数f（x）=

1

3

x³+bx²+（a²+c²-ac）x+1有极值点为x²+2bx+（a²+c²-ac）=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+bx²+（a²+c²-ac）x+1，
∴f′（x）=x²+2bx+（a²+c²-ac），
又∵函数f（x）=

1

3

x³+bx²+（a²+c²-ac）x+1有极值点，
∴x²+2bx+（a²+c²-ac）=0有两个不同的根，
∴△=（2b）²-4（a²+c²-ac）＞0，
即ac＞a²+c²-b²，
即ac＞2accosB；
即cosB＜

1

2

；
故∠B的范围是（

π

3

，π）；
故选：D．

点评：本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用，属于中档题．