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在△ABC中,a,b,c分为为∠A,∠B,∠C所对的边,若函数f(x)=
1
3
x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1有极值点,则∠B的范围是(  )
A、(0,
π
3
B、(0,
π
3
]
C、[
π
3
,π)
D、(
π
3
,π)
考点:利用导数研究函数的极值
专题:计算题,导数的综合应用,解三角形
分析:先求导f′(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac),从而化函数f(x)=
1
3
x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1有极值点为x2+2bx+(a2+c2-ac)=0有两个不同的根,从而再利用余弦定理求解.
解答: 解:∵f(x)=
1
3
x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1,
∴f′(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac),
又∵函数f(x)=
1
3
x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1有极值点,
∴x2+2bx+(a2+c2-ac)=0有两个不同的根,
∴△=(2b)2-4(a2+c2-ac)>0,
即ac>a2+c2-b2
即ac>2accosB;
即cosB<
1
2

故∠B的范围是(
π
3
,π);
故选:D.
点评:本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用,属于中档题.
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1
2
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1
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3-x2
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π
4
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3
B、(1,
3
]
C、[-3,-
3
)∪(1,
3
]
D、[-3,-
3
]∪(1,
3
]

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21π
4
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2
2
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2
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.
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.
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