Question

（1）某工厂准备在仓库的一侧建立一个矩形储料场（如图1），现有50米长的铁丝网，如果用它来围成这个储料场，那么长和宽各是多少时，这个储料场的面积最大？并求出这个最大的面积．
（2）如图2，已知AB、DE是圆O的直径，AC是弦，AC∥DE，求证CE=EB．
（3）如图3所示的棱长为a的正方体中：①求CD₁和AB所成的角的度数；②求∠B₁BD₁的正弦值．

Answer 1

（1）解：设矩形储料场的长为x宽为y，则因其一面靠墙，所以应有2x+y=50，即y=50-2x，设储料场的面积为S，
则S=xy=x（50-2x）
=-2x²+50x
=-2（x-12.5）²+312.5
∴当x=12.5时，储料场的面积最，S=312.5米²此时y=25米．

（2）解：证：∵AC∥DE，∴∠1=∠2．
∴EB=CB，CB=2EB
但CB=CE+EB，
∴2EB=CE+EB，CE=EB，CE=EB．

（3）解：①CD₁和AB所成的角等于∠D₁CD，
∵△D₁CD是等腰三角形，∴∠D₁CD=45°．
②∵D₁B₁=a，D₁B=a，
∴．
分析：（1）由图可知储料场是个矩形，设出其长为x宽为y，根据条件2x+y=50，用y表示出x，然后用配方法求出其最大值；
（2）根据中位线定理可得EB=CB，然后再结合条件CB=CE+EB，进行证明；
（3）①CD₁和AB所成的角等于∠D₁CD，是个等腰三角形进而求解；②利用正弦三角函数的定义和性质进行求解．
点评：（1）是一道实际应用题，考查二次函数的最值问题，主要配方法是高考常用的方法；
（2）考查圆内简单的几何关系，利用三角形中位线定理进行求解；
（3）是一道简单的立体几何问题，解题的关键是找出所求的角，是一道基础题．