分析 数列{an}满足a1=3,an+1=3an+3n+1,变形为$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1,利用等差数列的通项公式可得:an.代入bn=$\frac{10\sqrt{3}-n}{n}$an.对n分类讨论,再利用数列的单调性即可得出.
解答 解:∵数列{an}满足a1=3,an+1=3an+3n+1,
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1,
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}\}$是等差数列,首项为1,公差为1.
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1+n-1=n,
∴an=n•3n.
∴bn=$\frac{10\sqrt{3}-n}{n}$an=$(10\sqrt{3}-n)$•3n.
bn+1-bn=3n$(20\sqrt{3}-2n-3)$,
当n≤15时,bn+1>bn;当n≥16时,bn+1<bn.
∴当n=16时,bn取得最大值.
即存在m=16,使得对任意的n∈N*,不等式bn≤bm恒成立,
故答案为:16.
点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3}{2}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | -$\frac{3}{2}$ | D. | -$\frac{2}{3}$ |
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