Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx﹣3，可得f′（x）=2ax+b． 由题设可得 即
解得a=1，b=﹣2．
所以f（x）=x2﹣2x﹣3．
（Ⅱ）由题意得g（x）=xf（x）+4x=x3﹣2x2+x，
所以g′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）．
令g′（x）=0，得 ，x2=1．
所以函数g（x）的单调递增区间为 ，（1，+∞）
【解析】（Ⅰ）先对函数f（x）求导，令f'（1）=0，f'（0）=﹣2即可得到答案．（Ⅱ）将函数f（x）的解析式代入求出函数g（x）的解析式后求导，令导函数大于0求出x的范围即可．
【考点精析】利用导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．