Question

18．已知a＞0，b＞0，用分析法证明：$\frac{a+b}{2}$≥$\frac{2ab}{a+b}$．

Answer 1

分析 利用分析法（执果索因），要证$\frac{a+b}{2}$≥$\frac{2ab}{a+b}$，只需证明（a-b）²≥0即可，该式显然成立．

解答 证明：因为a＞0，b＞0，要证$\frac{a+b}{2}$≥$\frac{2ab}{a+b}$，
只要证，（a+b）²≥4ab，只要证（a+b）²-4ab≥0，
即证a²-2ab+b²≥0，
而a²-2ab+b²=（a-b）²≥0恒成立，
故$\frac{a+b}{2}$≥$\frac{2ab}{a+b}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，着重考查分析法的应用，考查推理能力，属于中档题．