一个三角形数表按如下方式构成:第一行依次写上n个数.在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和.得到下一行.依此类推．记数表中第i行的第j个数为f(i.j)．(1)若数表中第i 行的数依次成等差数列.求证:第i+1行的数也依次成等差数列,=4j.求f(i.1)关于i的表达式,的条件下.若f(ai-1).bi=1aiai+1.试求一个函数f(x).使� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n（n≥4）个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第i行的第j个数为f（i，j）．
（1）若数表中第i （1≤i≤n-3）行的数依次成等差数列，
求证：第i+1行的数也依次成等差数列；
（2）已知f（1，j）=4j，求f（i，1）关于i的表达式；
（3）在（2）的条件下，若f（i，1）=（i+1）（a_i-1），b_i=

aiai+1

，试求一个函数f（x），使得S_n=b₁g（1）+b₂g（2）+…+b_ng（n）＜

，且对于任意的m∈（

，

），均存在实数λ?，使得当n＞?λ时，都有S_n＞m．

分析：（1）易知数表中第i+1行的数依次所组成数列的通项为f（i+1，j），再由等差数列定义证明；
（2）f（1，j）=4j由（1）知，第2行的数也依次成等差数列，依此类推可求解；
（3）由f（i，1）=（i+1）（a_i-1），可得a_i进而求得b_i，令g（i）=2ⁱ，求得s_n放缩探求．

解答：解：（1）数表中第i+1行的数依次所组成数列的通项为f（i+1，j），
则由题意可得f（i+1，j+1）-f（i+1，j）
=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]-[f（i，j）+f（i，j+1）]
=f（i，j+2）-f（i，j）=2d（其中d为第i行数所组成的数列的公差）（4分）

（2）∵f（1，j）=4j
∴第一行的数依次成等差数列，
由（1）知，第2行的数也依次成等差数列，依此类推，
可知数表中任一行的数（不少于3个）都依次成等差数列．
设第i行的数公差为d_i，则d_i+1=2d_i，则d_i=d₁×2^i-1=4×2^i-1=2ⁱ⁺¹
所以f（i，1）=f（i-1，1）+f（i-1，2）=2f（i-1，1）+2ⁱ=2[2f（i-2，1）+2^i-1]+2ⁱ=2²f（i-2，1）+2×2ⁱ=2^i-1f（1，1）+（i-1）×2ⁱ=2^i-1×4+（i-1）×2ⁱ=2ⁱ⁺¹+（i-1）×2ⁱ=（i+1）×2ⁱ（10分）

（3）由f（i，1）=（i+1）（a_i-1），可得ai=

f(i，1)

i+1

+1=2i+1
所以bi=

aiai+1

(2i+1)(2i+1+1)

(

2i+1

2i+1+1

)
令g（i）=2ⁱ，则big(i)=

2i+1

2i+1+1

，所以Sn=

2n+1+1

＜

要使得S_n＞m，即

2n+1+1

＞m，只要

2n+1+1

＜

-m=

1-3m

，
∵m∈(

，

)，∴0＜1-3m＜

，所以只要2n+1+1＞

1-3m

，
即只要n＞log2(

1-3m

-1)-1，所以可以令λ=log2(

1-3m

-1)-1
则当n＞λ时，都有S_n＞m．所以适合题设的一个函数为g（x）=2^x（16分）

点评：本题通过数表考查等差数列的通项公式及定义．

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（本小题满分16分）一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n(n≥4)个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第i行的第j个数为f(i,j)．

(1)若数表中第i (1≤i≤n－3)行的数依次成等差数列，求证：第i+1行的数也依次成等差数列；
(2)已知f(1,j)=4j，求f(i,1)关于i的表达式；
(3)在(2)的条件下，若f(i,1)=(i+1)(a_i－1)，b_i= ，试求一个函数g(x)，使得
S_n=b₁g(1)+b₂g(2)+…+b_ng(n)＜，且对于任意的m∈(,)，均存在实数，使得当时，都有S_n >m.