Question

设椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）以F₁、F₂为左、右焦点，离心率e=

1

2

，一个短轴的端点（0，

3

）；抛物线C₂：y²=4mx（m＞0），焦点为F₂，椭圆C₁与抛物线C₂的一个交点为P．
（1）求椭圆C₁与抛物线C₂的方程；
（2）直线l经过椭圆C₁的右焦点F₂与抛物线C₂交于A₁，A₂两点，如果弦长|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（1）由离心率、短轴的端点坐标、及a²=b²+c²求得a，b的值，求得椭圆的方程．由抛物线的焦点坐标求得m的值，进一步得到抛物线方程；
（2）由于△PF₁F₂周长为 2a+2c=6，故弦长|A₁A₂|=6，用点斜式设出直线L的方程，代入抛物线方程化简，得到根与系数的关系，代入弦长公式求出斜率k的值．

解答：解：（1）由椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

，得

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

，∴a2=

4

3

b2．
又b=

3

，∴a²=4，则a=2，c=1．
∴椭圆C₁的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
抛物线C₂的焦点为（1，0），∴m=1，则抛物线方程为：y²=4x；
（2）由于△PF₁F₂周长为 2a+2c=6，故弦长|A₁A₂|=6，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y-0=k（x-1），
代入抛物线C₂：y²=4x，化简得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x1+x2=

2k2+4

k2

，x1x2=1，
∴|A₁A₂|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)[( 2k2+4 k2 )2-4]

=6，解得：k=±

2

．
故直线l的斜率为：±

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及抛物线的标准方程求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法，考查了学生的计算能力，是高考试卷中的压轴题．