Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，AC=2BC=2CD=4，∠ACB=∠ACD=60°．
（1）证明：CP⊥BD；
（2）若AP=PC=2 ，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BC=CD，即△BCD为等腰三角形，

又AC平分∠BCD，故AC⊥BD，

∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，

∴BD⊥平面PAC，

∵CP平面PAC，∴CP⊥BD

（2）解：如图，记BD交AC于点E，作PO⊥AC于点O，

则PO⊥底面ABCD，

∵AP=PC=2 ，AC=4，∴∠APC=90°，PO=2，

则EC=CDcos60°=1，ED=CDsin60°= ，

以O为坐标原点，平行于DB的直线为x轴，OC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，﹣2，0），B（ ，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），

∴ ， ．

设平面PAB的一个法向量为 ，则 ，取z=1，则 ；

设平面PBC的一个法向量为 ，则 ，取z=1，则 ．

∴cos＜ ＞= = = ．

∴二面角A﹣BP﹣C的余弦值为 ．

【解析】（1）推导出AC⊥BD，由平面PAC⊥底面ABCD，得BD⊥平面PAC，由此能证明CP⊥BD；（2）作PO⊥AC于点O，则PO⊥底面ABCD，以O为坐标原点，平行于DB的直线为x轴，OC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求得平面PAB与平面PBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BP﹣C的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题．