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已知向量
a
=(cosx,sinx),
b
=(
2
2
)
,若
a
b
=
8
5
,且
π
4
<x<
π
2

(1)求cos(x-
π
4
)
tan(x-
π
4
)
的值;
(2)求
sin2x(1+tanx)
1-tanx
的值.
分析:(1)先根据向量的数量积以及
a
b
=
8
5
得到sin(x+
π
4
)=
4
5
⇒cos(
π
4
-x)=
4
5
进而求出cos(x-
π
4
)
,再利用同角三角函数的基本关系式即可求出tan(x-
π
4
)
的值;
(2)先利用诱导公式以及两角和的正切公式对所求进行整理,再把第一问的结论代入即可求出答案.
解答:解:因为:
a
b
=
2
cosx+
2
sinx=2sin(x+
π
4

∴2sin(x+
π
4
)=
8
5
⇒sin(x+
π
4
)=
4
5
⇒cos(
π
4
-x)=
4
5

(1)∴cos(x-
π
4
)=
4
5

π
4
<x<
π
2
⇒0<x-
π
4
π
4
⇒sin(x-
π
4
)=
1-cos 2(x-
π
4
)
=
3
5

∴tan(x-
π
4
)=
sin(x-
π
4
)
cos(x-
π
4
)
=
3
5
4
5
=
3
4

(2)∵
sin2x(1+tanx)
1-tanx

=sin2x•
1+tanx
1-tanx

=cos(
π
2
-2x)•tan(x+
π
4

=cos(2x-
π
2
)•cot(
π
4
-x)
=-cos2(x-
π
4
)•
1
tan(x-
π
4
)

=-[2cos2(x-
π
4
)-1]×
1
3
4

=-[2×(
4
5
)
2
-1]×
4
3

=-
28
75
点评:本题主要考查向量和三角的综合问题.解决问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(-cosα,1+sinα)
b
=(2sin2
α
2
,sinα)

(Ⅰ)若|
a
+
b
|=
3
,求sin2α的值;
(Ⅱ)设
c
=(cosα,2)
,求(
a
+
c
)•
b
的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(cosωx-sinωx,sinωx)
b
=(-cosωx-sinωx,2
3
cosωx)
,其中ω>0,且函数f(x)=
a
b
(λ为常数)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的图象的对称轴;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象经过点(
π
4
,0)
,求函数y=f(x)在区间[0,
12
]
上的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(cos
θ
2
,sin
θ
2
)
b
=(2,1)
,且
a
b

(1)求tanθ的值;
(2 )求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
),  sin(ωx-
π
4
)),  
b
=(sin(
2
3
π-ωx), sin(ωx+
π
4
))
(其中ω>0).若函数f(x)=2
a
b
-1
的图象相邻对称轴间距离为
π
2

(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)在[-
π
12
,  
π
2
]
上的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(cosθ,sinθ),
b=
(cos2θ-1,sin2θ),
c
=(cos2θ,sin2θ-
3
)
.其中θ≠kπ,k∈Z.
(1)求证:
a
b

(2)设f(θ)=
a
c
,且θ∈(0,π),求f(θ)
的值域.

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