Question

（2010•青浦区二模）[理科]观察下列式子：1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，…，可以猜想结论为（　　）

• A．1+

  1

  22

  +

  1

  32

  +…+

  1

  n2

  ＜

  2n+1

  n

  (n∈N*)
• B．1+

  1

  22

  +

  1

  32

  +…+

  1

  (n+1)2

  ＜

  2n-1

  n

  (n∈N*)
• C．1+

  1

  22

  +

  1

  32

  +…+

  1

  (n+1)2

  ＜

  2n+1

  n+1

  (n∈N*)
• D．1+

  1

  22

  +

  1

  32

  +…+

  1

  n2

  ＜

  2n+1

  n+1

  (n∈N*)

Answer 1

分析：本题主要观察项的变化，及分子分母的变化规律，利用不完全归纳法可以推理出答案．

解答：解：由题意知
   先观察左边的项的变化：1+

1

22

，1+

1

22

+

1

32

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

…
   发现后一项比前一项多了一项

1

(n+1)2

，
   故左边的式子可以归纳推理为：1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

；
  再观察右边的项的变化：

3

2

，

5

3

，

7

4

…
  发现分子是以通项为a_n=2n+1的等差数列，分母是以通项为a_n=n+1的等差数列
  故右边的式子可以归纳推理为

2n+1

n+1

；
  综上可知：1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

2n+1

n+1

(n∈N*) 
  故选C

点评：本题主要考查不完全归纳推理的能力，属于基础题型．