Question

数列{a_n}的前n项和记为A_n，a₁=1，a_n+1=2A_n+1（n≥1）
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为B_n，且B₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求B_n的表达式；
（III）若数列{c_n}中（n≥2），求数列{c_n}的前n项和S_n的表达式．

Answer 1

（本题14分）
解：（Ⅰ） 由a_n+1=2A_n+1可得 a_n=2A_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，于是a_n+1=3a_n（n≥2），
又 a₂=2A₁+1=3∴a₂=3a₁，
故{a_n}是首项为1，公比为3得等比数列，∴…（4分）
（Ⅱ）设{b_n}的公差为d，由 B₃=15，可得b₁+b₂+b₃=15，得b₂=5，
故可设 b₁=5-d，b₃=5+d又a₁=1，a₂=3，a₃=9，
由题意可得 （5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，解得 d₁=2，d₂=-10，
∵等差数列{b_n}的各项为正，
∴d＞0，于是d=2，
∴； …（8分）
（ III）∵（n≥2），
∴（n≥2），
∴（n≥1），①
于是，②
两式相减得：
∴． …（14分）
分析：（Ⅰ） 由a_n+1=2A_n+1可得 a_n=2A_n-1+1（n≥2），推出a_n+1=3a_n（n≥2），判断{a_n}是首项为1，公比为3得等比数列求出通项公式．
（Ⅱ）设{b_n}的公差为d，由 B₃=15，得b₂=5，利用a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，解得 d₁=2，然后求出等差数列{b_n}的前n项和为B_n．
（ III）利用（Ⅱ）求出（n≥2），推出（n≥1），利用错位相减法求出数列{c_n}的前n项和S_n的表达式．
点评：本题考查考查数列的递推关系式，通项公式与前n项和的求法，错位相减法的应用，考查分析问题解决问题的能力．