Question

19．如图，在边长为6的正三角形△ABC内，△APQ的边PQ在BC边上滑动且PQ=2，求△APQ三边的平方和的最大值与最小值．

Answer 1

分析 通过设QC=x（0≤x≤4），则BP=4-x，利用余弦定理可知AQ²=QC²+AC²-2QC•AC•cos60°、AP²=BP²+AB²-2BP•AB•coscos60°，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，∠B=∠C=60°，AC=AB=6，
设QC=x（0≤x≤4），则BP=4-x，
由余弦定理可知：AQ²=QC²+AC²-2QC•AC•cos60°
=x²+36-6x，
同理AP²=BP²+AB²-2BP•AB•coscos60°
=（4-x）²+36-6（4-x）
=x²-2x+28，
∴记△APQ三边的平方和为L，
则L=x²+36-6x+4+x²-2x+28
=2x²-8x+64
=2（x-2）²+56，
∴当x=0时L取最大值，即L_max=2（0-2）²+56=64；
当x=2时L取最小值，即L_min=2（2-2）²+56=56；
∴△APQ三边的平方和的最大值与最小值分别为64、56．

点评 本题考查解三角形，利用余弦定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．