已知椭圆的左顶点为A.右焦点为F.且过点(1.).椭圆C的焦点与曲线的焦点重合．(1)求椭圆C的方程,(2)过点F任作椭圆C的一条弦PQ.直线AP.AQ分别交直线x=4于M.N两点.点M.N的纵坐标分别为m.n．请问以线段MN为直径的圆是否经过x轴上的定点?若存在.求出定点的坐标.并证明你的结论,若不存在.请说明理由．问的条件下.求以线段MN为直径的圆的面积的最小值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知椭圆

的左顶点为A，右焦点为F，且过点（1，

），椭圆C的焦点与曲线

的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F任作椭圆C的一条弦PQ，直线AP、AQ分别交直线x=4于M、N两点，点M、N的纵坐标分别为m、n．请问以线段MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？若存在，求出定点的坐标，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）问的条件下，求以线段MN为直径的圆的面积的最小值．

【答案】分析：（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，

），由椭圆的定义，可得a的值，从而可求椭圆C的方程；
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0），分类讨论：①当PQ⊥x轴时，以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）²+y²=9，可得以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；②当直线PQ与x轴不垂直时，可得以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）²+（y-

）²=

，验证（1，0），（7，0）在圆上；
（3）由（2）知，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0），故可得线段MN为直径的圆的半径的最小值，从而可得结论．
解答：解：（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，

），
由椭圆的定义，可得2a=4，∴a=2
∴b²=a²-1=3
∴椭圆C的方程为

；
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0）
①当PQ⊥x轴时，P，Q的横坐标均为1，将x=1代入椭圆方程可得y=±

不妨令P（1，

），Q（1，-

）
由A，P，M三点共线，得

，∴m=3
同理可得n=-3
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）²+y²=9
令y=0，可得x=1或x=7
∴以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
②当直线PQ与x轴不垂直时，∵A（-2，0），M（4，m），∴

∴直线AM的方程为y=

代入椭圆方程，整理可得（27+m²）x²+4m²x+4m²-108=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则-2与x₁是上述方程的两个实根
∴-2x₁=

，∴x₁=

，∴y₁=

∴P（

，

）
同理可得Q（

）
∴

，

∵P，F，Q三点共线，∴

∴（m-n）（9+mn）=0
∵m≠n，∴9+mn=0，∴mn=-9
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）²+（y-

）²=

将（1，0）代入上式的坐标，可得（1-4）²+（0-

）²=-mn++（

）²=

∴以线段MN为直径的圆的方程经过点（1，0）
同理（7，0）也在圆上，
综上，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
（3）由（2）知，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0），
故以线段MN为直径的圆的半径的最小值为

∴以线段MN为直径的圆的面积的最小值为9π．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，考查分类讨论的数学思想，综合性强．

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