Question

9．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PB=PC=AB，PB⊥平面PDC，E为棱PC的中点．
（1）求证：PA∥平面DEB；
（2）求证：平面PBC⊥平面ABCD；
（3）设AB=2，求三棱锥P-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，由已知得PA∥OE，由此能证明PA∥平面DEB．
（2）由已知得PB⊥DC，BC⊥DC，得DC⊥平面PBC，由此能证明平面PBC⊥平面ABCD．
（3）由V_P-BDE=V_B-PDE，能求出结果．

解答 （1）证明：连接AC，设AC∩BD=O，连接OE
∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC中点  
又∵E为PC中点
∴OE是△PAC的中位线，∴PA∥OE
又∵OE?面DEB，PA?面DEB，
∴PA∥平面DEB      …（4分）
（2）证明：∵PB⊥平面PDC，DC?平面PDC，
∴PB⊥DC
又∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥DC     
∵PB∩BC=B，∴DC⊥平面PBC   
∵DC?平面ABCD
∴平面PBC⊥平面ABCD    …（8分）
（3）解：V_P-BDE=V_B-PDE=$\frac{1}{2}$V_B-PDC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×2×2$\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$    …（12分）

点评 本题考查PA∥平面DEB、平面PBC⊥平面ABCD的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查学生分析解决问题的能力，要认真审题，注意空间思维能力的培养．