Question

1．如图，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（0，1），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求$\frac{MN}{NB}$的取值范围；
（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；
（2）设P点横坐标为x₀，则$\frac{MN}{NB}$=$\frac{2-{x}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}-1$，由-$\sqrt{2}$＜x₀≤$\sqrt{2}$，可得$\frac{MN}{NB}$的取值范围；
（3）由题意设直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．

解答 （1）解：由题意知$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=1，再由a²=b²+c²，解得$a=\sqrt{2}$，继而得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）解：由（1）知，椭圆右准线方程为x=2，
设M点横坐标为x₀，则$\frac{MN}{NB}$=$\frac{2-{x}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}-1$，
∵-$\sqrt{2}$＜x₀≤$\sqrt{2}$，∴$\frac{2+\sqrt{2}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}-1∈[\frac{\sqrt{2}-1}{2}，+∞）$．
∴$\frac{MN}{NB}$的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，+∞）； 
（3）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0由题设知，直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），
代入 $\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，化简得（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2k（k-2）}{1+2{k}^{2}}$，
由已知△＞0，从而直线AP与AQ的斜率之和${k}_{AP}+{k}_{AQ}=\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}=2k+（2-k）\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=2k+（2-k）$\frac{4k（k-1）}{2k（k-2）}$=2k-2（k-1）=2．
即有直线AP与AQ斜率之和为2．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理求解．考查直线的斜率公式，属于中档题．