Question

关于二项式（x-1）²⁰⁰⁸有下列命题：
①该二项展开式中含x项的系数是2008；
②该二项展开式中第六项为C₂₀₀₈⁶x²⁰⁰²；
③该二项展开式中系数最大的项为第1004项；
④当x=2008时，（x-1）²⁰⁰⁸除以2008的余数是1．
其中所有正确命题的序号是

④

．

Answer 1

分析：先求出二项式（x-1）²⁰⁰⁸展开式的通项公式，然后令r=2007求出二项展开式中含x项的系数可判定①的真假，求出二项展开式的第六项可判定②的真假，求出二项展开式中系数最大的项可判定③的真假，根据当x=2008时，（x-1）²⁰⁰⁸展开后前面项都能整除2008，只有最后一项1剩余，从而得到余数，可判定④的真假．

解答：解：二项式（x-1）²⁰⁰⁸展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 2008

x2008-r(-1)r
令r=2007求出二项展开式中含x项的系数是-2008，即得①不正确；
二项展开式的第六项为-C₂₀₀₈⁵x²⁰⁰³，即得②不正确；
二项展开式中系数最大的项是第1005项C₂₀₀₈¹⁰⁰⁴•x¹⁰⁰⁴，即③不正确；
当x=2008时，（x-1）²⁰⁰⁸除以2 008的余数是最后一项1，即④正确．
故答案为：④．

点评：本题主要考查了二项式系数的性质，以及特定项以及系数最大项，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．