如图,四边形中,
为正三角形,
,
,
与
交于
点.将
沿边
折起,使
点至
点,已知
与平面
所成的角为
,且
点在平面
内的射影落在
内.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)若已知二面角的余弦值为
,求
的大小.
(Ⅰ)由为
的中点,可得
,又
,所以
平面
;
(Ⅱ).
解析试题分析:(Ⅰ)易知为
的中点,
则,又
,
又,
平面
,
所以平面
(4分)
(Ⅱ)方法一:以为
轴,
为
轴,过
垂直于
平面向上的直线为
轴建立如图所示空间
直角坐标系,则,
(6分)
易知平面的法向量为
(7分)
,
设平面
的法向量为
则由得,
解得,,令
,则
(9分)
则
解得,,即
,即
,
又,∴
故
.(12分)
考点:本题主要考查立体几何中的垂直关系,角的计算。
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,本题利用向量法,简化了证明过程。折叠问题,要注意折叠前后“变”与“不变”的量。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形
(1)求证:; (2)求证:
;
(3)设为
中点,在
边上找一点
,使
平面
,并求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在三棱锥P-ABC中, AB="AC=4," D、E、F分别为PA、PC、BC的中点, BE="3," 平面PBC⊥平面ABC, BE⊥DF.
(Ⅰ)求证:BE⊥平面PAF;
(Ⅱ)求直线AB与平面PAF所成的角.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为8,E、F分别为AD1,CD1中点,G、H分别为棱DA,DC上动点,且EH⊥FG.
(1)求GH长的取值范围;
(2)当GH取得最小值时,求证:EH与FG共面;并求出此时EH与FG的交点P到直线的距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图一,△ABC是正三角形,△ABD是等腰直角三角形,AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起, 使得△ABD与△ABC成30o的二面角,如图二,在二面角
中.
(1) 求D、C之间的距离;
(2) 求CD与面ABC所成的角的大小;
(3) 求证:对于AD上任意点H,CH不与面ABD垂直。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)
如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点。
(1)求证:CD⊥AE;
(2)求证:PD⊥面ABE。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)已知直三棱柱中,△
为等腰直角三角形,∠
=
,且
=
,
、
、
分别为
、
、
的中点.
(1)求证:∥平面
;
(2)求证:⊥平面
;
(3)求三棱锥的体积.
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