Question

4．设a＞0，函数f（x）定义域为R，且f（x+a）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-[f（x）]^{2}}$，求证：f（x）为周期函数．

Answer 1

分析 根据已知中函数f（x）满足f（x+a）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-[f（x）]^{2}}$，可得f（x）∈[0，1]，当f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$）时，可得f（x+4a）=f（x）；当f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]时，可得f（x+4a）=f（x）；进而根据周期性的定义得到结论．

解答 证明：∵函数f（x）满足f（x+a）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-[f（x）]^{2}}$，
∴f（x）-[f（x）]²≥0，即f（x）∈[0，1]，
若f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$），则
∴f（x+2a）=f[（x+a）+a]=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x+a）-{[f（x+a）]}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{[\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{[f（x）]}^{2}}]-[\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{[f（x）]}^{2}}]^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{[f（x）]}^{2}-f（x）+\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$-f（x）+$\frac{1}{2}$=1-f（x），
∴f（x+4a）=1-f（x+2a）=1-（1-f（x））=f（x），
故f（x）是以4a为周期的周期函数；
若f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x+2a）=f[（x+a）+a]=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x+a）-{[f（x+a）]}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{[\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{[f（x）]}^{2}}]-[\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{[f（x）]}^{2}}]^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{[f（x）]}^{2}-f（x）+\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$+f（x）-$\frac{1}{2}$=f（x），
故f（x）是以2a为周期的周期函数．

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，熟练掌握函数周期性的定义，是解答的关键．