Question

3．已知f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx-sinωxcosωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（ω＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且相邻两切点的横坐标相差2π．
（Ⅰ）求ω和m的值；
（Ⅱ）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若角A满足f（A）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a=4，b+c=6，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2ωx+$\frac{π}{6}$），由三角函数图象和周期性可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）结合三角形内角的范围可得A=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理整体可得bc的值，代三角形的面积公式可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：
f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx-sinωxcosωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=cos（2ωx+$\frac{π}{6}$），
由题意可得m=1，$\frac{2π}{2ω}$=2π，解得ω=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（A）=cos（A+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴结合三角形内角的范围可得A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，A=$\frac{2π}{3}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
代入已知数据可得16=36-2bc-2bc（-$\frac{1}{2}$），解得bc=20，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×20×\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．