Question

在各项为正的数列{a_n}中，数列的前n项和S_n满足Sn=

1

2

(an+

1

an

)
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）结果猜想出数列{a_n}的通项公式（不用证明）；
（3）求S_n．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a₁，a₂，a₃．
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式：an=

n

-

n-1

(n∈N*)，
（3）由（2）可得：S_n=a₁+a₂+…+a_n=1+

2

-1+

3

-

2

+…+

n

-

n-1

利用回头消去法化简即得．

解答：解：（1）由Sn=

1

2

(an+

1

an

)(n∈N*)，
令n=1得a1=

1

2

(a1+

1

a1

)⇒a₁=1，
令n=2得a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)⇒a2=

2

-1，
令n=3得a1+a2+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)⇒a3=

3

-

2

，
同样地，可求得a4=

4

-

3

．
故a₁=1，a2=

2

-1，a3=

3

-

2

，a4=

4

-

3

…（6分）
（2）根据（1）猜想：an=

n

-

n-1

(n∈N*)…（10分）
（3）由（2）可得：
S_n=a₁+a₂+…+a_n=1+

2

-1+

3

-

2

+…+

n

-

n-1

=

n

(n∈N*)…（14分）

点评：本小题主要考查归纳推理、数列递推关系式的应用、数列的求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．