Question

（2012•朝阳区二模）已知函数f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+m(m∈R)的图象过点M（

π

12

，0）．
（1）求m的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式，将函数y=f（x）化简，得f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

+m，再将M点坐标代入，可得m=

1

2

；
（2）利用正弦定理，将ccosB+bcosC=2acosB化简整理，得cosB=

1

2

，所以B=

π

3

．由此得到函数f（A）=sin（2A-

π

6

），其中A∈（0，

2π

3

），再结合正弦函数的图象与性质，可得f（A）的取值范围．

解答：解：（1）∵sinxcosx=

1

2

sin2x，cos²x=

1

2

（1+cos2x）
∴f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+m=

3

2

sin2x-

1

2

（1+cos2x）+m
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

+m=sin（2x-

π

6

）-

1

2

+m
∵函数y=fx）图象过点M（

π

12

，0），
∴sin（2•

π

12

-

π

6

）-

1

2

+m=0，解之得m=

1

2

（2）∵ccosB+bcosC=2acosB，
∴结合正弦定理，得sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB
∵B+C=π-A，得sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA
∴sinA=2sinAcosB
∵△ABC中，sinA＞0，∴cosB=

1

2

，得B=

π

3

由（1），得f（x）=sin（2x-

π

6

），
所以f（A）=sin（2A-

π

6

），其中A∈（0，

2π

3

）
∵-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴sin（2A-

π

6

）＞sin（-

π

6

）=-

1

2

，sin（2A-

π

6

）≤sin

π

2

=1
因此f（A）的取值范围是（-

1

2

，1]

点评：本题给出三角函数的表达式，在图象经过已知点的情况下求参数m的值，在△ABC中研究f（A）的取值范围，着重考查了二倍角的三角函数公式、正弦定理和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．