Question

（本小题15分）在各项为正的数列中，数列的前n项和满足

（1） 求；（2） 由（1）猜想数列的通项公式并证明，（3） 求

 

Answer 1

【答案】

解：

（1）a₁=1，a₂=，a₃=；

（2）数列{an}的通项公式可能是：an=，证明见解析。

（3）Sn==

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式与前n项和的关系式的运用，令值的思想得到前几项，然后归纳猜想数列的通项公式，并运用数学归纳法证明，

（1）由题意可知，那么对于n令值，那么可知a₂=

a₃=

(2)根据上一问的结论，数列{a_n}的通项公式可能是：an=，然后运用数学归纳法分两步骤证明即可。

（3）因为通项公式累加可以得到前n项和的结论。

解：

（1）S₁=1/2(a₁+1/a₁)

        又S₁=a₁

        故1/2(a₁+1/a₁)=a₁

        即a₁²=1   因为a1>0

        故a₁=1

           S₂=1/2(a₂+1/a₂)

        又S₂=a₁+a₂=1+a₂

        故1/2(a₂+1/a₂)=1+a₂ (a₂>0)

        解得：a₂=

        同理：a₃=

（2）从（1）中可看出：数列{an}的通项公式可能是：an=

        假设an=成立

证明：

  ① 当n=1时，a_n=1=      假设成立

  ② 当n=2时，a_n==     假设成立

  ③ 假设n=i时，假设成立，即

     ai=

     Si=(+()+()+…+()=

     那么，当n=i+1时

     由sn=1/2(a_n+1/a_n)得

     Si+1=1/2(ai+1+1/ai+1)

     ai+1=Si+1-Si=1/2(ai+1+1/ai+1)-

     解得：ai+1=  由①②③可证明假设a_n=成立

     an通项公式为：a_n=

（3）Sn==