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    若数列{an}的通项公式为an=（1+
    1n
    ）n，
    试证：（1）数列{an}为递增数列；
    （2）2≤an≤3．
    分析：（1）由题设条件知an=1+Cn1
    1
    n
    +Cn2（
    1
    n
    ）2+…+Cnn（
    1
    n
    ）n，an+1=（1+
    1
    n+1
    ）n+1
    =1+Cn+11
    1
    n+1
    +Cn+12（
    1
    n+1
    ）2+…+Cn+1n（
    1
    n+1
    ）n+1．由此可知an＜an+1，即{an}为递增数列．
    （2）由题意知an=1+Cn1
    1
    n
    +Cn2（
    1
    n
    ）2++Cnn（
    1
    n
    ）n≥1+Cn1
    1
    n
    =2，由此可知an=1+Cn1
    1
    n
    +Cn2（
    1
    n
    ）2++Cnn（
    1
    n
    ）n≤2+
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +…+
    1
    (n-1)n
    =3-
    1
    n
    ＜3．
    解答：证明：（1）an=（1+
    1
    n
    ）n=1+Cn1
    1
    n
    +Cn2（
    1
    n
    ）2+…+Cnn（
    1
    n
    ）n，an+1=（1+
    1
    n+1
    ）n+1
    =1+Cn+11
    1
    n+1
    +Cn+12（
    1
    n+1
    ）2+…+Cn+1n（
    1
    n+1
    ）n+1．
    可观察Cn+1k（
    1
    n+1
    ）k与Cnk（
    1
    n
    ）k，当k=0，1时，
    Cn+1k（
    1
    n+1
    ）k=Cnk（
    1
    n
    ）k；当k=2，3，4，，n时，
    Cn+1k（
    1
    n+1
    ）k＞Cnk（
    1
    n
    ）k．∴an＜an+1，即{an}为递增数列．
    （2）∵an=（1+
    1
    n
    ）n
    =1+Cn1
    1
    n
    +Cn2（
    1
    n
    ）2++Cnn（
    1
    n
    ）n≥1+Cn1
    1
    n
    =2，
    又an=（1+
    1
    n
    ）n=1+Cn1
    1
    n
    +Cn2（
    1
    n
    ）2++Cnn（
    1
    n
    ）n≤2+
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +…+
    1
    (n-1)n
    =3-
    1
    n
    ＜3．
    点评：解：本题考查数列的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若数列{an}的通项公式为
    a
     
    n
    =5×(
    2
    5
    )2n-2-4×(
    2
    5
    )n-1(n∈N+)    ，{an}的最大值为第x项，最小项为第y项，则x+y等于
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    1
    4x+2
    （x∈R）．
    （1）已知点(1，
    1
    6
    )    在f（x）的图象上，判断其关于点(
    1
    2
    ，
    1
    4
    )    对称的点是否仍在f（x）的图象上；
    （2）求证：函数f（x）的图象关于点(
    1
    2
    ，
    1
    4
    )    对称；
    （3）若数列{an}的通项公式为an=f(
    n
    m
    )    （m∈N*，n=1，2，…，m），求数列{an}的前m项和Sm．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)=
    1
    4x+2
    (x∈R)    ，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数y=f（x）图象上两点，且线段P1P2中点P的横坐标是
    1
    2
    ．
    （1）求证点P的纵坐标是定值； 
    （2）若数列{an}的通项公式是an=f(
    n
    m
    )    （m∈N*），n=1，2…m），求数列{an}的前m项和Sm； 
    （3）在（2）的条件下，若m∈N*时，不等式
    am
    Sm
    ＜
    am+1
    Sm+1
    恒成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2003•北京）若数列{an}的通项公式是an=
    3-n+(-1)n3-n
    2
    ，n=1，2，…    ，则
    lim
    n→∞
    (a1+a2+…+an)    等于（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•宝山区一模）若数列{an}的通项公式是an=3-n+(-2)-n+1，则 
    lim
    n→∞
    (a1+a2+…+an)    =
    7
    6
    7
    6
    ．

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