Question

在平面直角坐标系中，已知定点A（－2，0）、B（2，0），异于A、B两点的动点P满足，其中k₁、k₂分别表示直线AP、BP的斜率．

（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；

（Ⅱ）若N是直线x=2上异于点B的任意一点，直线AN与（I）中轨迹E交予点Q，设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M（异于点B），点C（1，0），求证：|CM|·|CN| 为定值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）先得到直线MN过定点C（1，0）

【解析】

试题分析：解:(Ⅰ)设,由得  ,其中,

整理得点的轨迹方程为.           

(Ⅱ)设点(),

设,则,,

从而.                             

而,直线斜率,

直线与以为直径的圆的另一个交点为,.

方程为,即,过定点      

定值证法一:即三点共线,又是以为直径的圆的切线,由切割线定理可知,,为定值.                    

定值证法二:直线:,直线:,  

联立得,,

,为定值.

考点：椭圆的方程；直线与椭圆的位置关系

点评：关于曲线的大题，第一问一般是求出曲线的方程，第二问常与直线结合起来，当涉及到交点时，常用到根与系数的关系式：（）。