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如图,ABC和DBC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,CBA=DBC= 60°,(1) 求证:直线AD⊥直线BC;(2)求直线AD与平面BCD所成角的大小。

(1)证明:如图,取BC的中点,连结AE、DE。∵AB=BC=BD,CBA=DBC= 60°

∴△ABC和△DBC为全等的正三角形。∴AE⊥BC,DE⊥BC而AE∩DE=E
∴BC⊥平面ADE∴直线AD⊥直线BC
(2)解:∵△ABC和△DBC所在的平面互相垂直。而由(1)知AE⊥BC
∴AE⊥平面DBC∴AD在平面DBC上的射影为ED。∴∠ADE为直线AD与平面BCD所成角。在直角三角形AED中,由(1)知AE=DE∴△AED为等腰直角三角形。∴∠ADE=45°
故直线AD与平面BCD所成角的大小为45°。

解析

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